Tema: Los números naturales, su tratamiento en la escuela.
Autor: Prof. Hugo Chriss silupú Chorres
En la antigüedad nuestros ancestros sintieron la necesidad de crear los números para poder interpretar la realidad por lo que crearon símbolos. Estos símbolos o números representarían a todos los conjuntos o grupos de objetos que independientemente de la forma, color, tamaño contengan la misma cantidad de elementos.
Cada clase de conjuntos finitos equipotenciales entre sí es un número natural, de esa forma el número 4 es la clase de todos los conjuntos de cuatro elementos y cada conjunto de cuatro elementos es representante del número 4.
Cada conjunto finito es representante de un número natural bien determinado. Un número natural puede representarse por conjuntos de la potencia correspondiente.
La explicación teórica de los números naturales se ajusta al proceso de obtención de algunos números naturales por los niños de edad preescolar. Los alumnos adquieren los primeros conocimientos acerca de los números naturales durante el Juego, en el trabajo con conjuntos, con bloques de construcción, muñecas, etcétera, aprenden a coordinar a determinados objetos, determinados numerales. También en el tratamiento sistemático de los números naturales del 1 al 10 tiene gran Importancia en la clase, el trabajo con los conjuntos, cuyos elementos son objetos sencillos. Este trabajo con conjuntos forma la base intuitiva para la abstracción posterior de los números naturales.
Los alumnos tienen que comprender por su contenido, que todos los conjuntos que tienen «la misma cantidad» de elementos, que los elementos que tiene un conjunto dado, representan el mismo número, independientemente del tamaño, color, de la naturaleza de los elementos, Independientemente también de la disposición en el espacio de los objetos pertenecientes a los conjuntos observados.
Mediante la comparación puede determinarse si dos conjuntos tienen «la misma cantidad de elementos.
El tratamiento de los números naturales hasta el diez comienza por ello, con ejercicios de comparación de conjuntos.
Para la comparación de conjuntos los alumnos disponen de varios procedimientos:
a) Cuando dos conjuntos se diferencian mucho por la cantidad de sus elementos, los alumnos reconocen»a primera vista», cuál de los dos contiene más y cuál menos elementos. Si los elementos de un conjunto se pueden hacer corresponder en determinada forma a los elementos del otro cómo por ejemplo, en un aula las sillas a las mesas, entonces esta re flexión del contenido los conduce hacia proposiciones verdaderas.
b) El importante procedimiento desde el punto de vista matemático, de comparación de dos conjuntos según su potencia se realiza mediante el establecimiento de correspondencias. Los alumnos comparan dos conjuntos entre si, sin determinar «la cantidad" de sus elementos, haciendo corresponder cada elemento de un conjunto a un elemento del otro. Él conjunto en el que quedan elementos después de realizada esta correspondencia unívoca tiene más elementos que el otro. Si no sobran elementos entonces son equipotentes. Una correspondencia como esta posibilita proposiciones como: «Hay más círculos que triángulos" «Hay menos triángulos negros que blancos»: - Arriba hay tantos círculos como abajo».
c) Como los alumnos conocen ya algunos números naturales, pueden comparar dos conjuntos en relación con su potencia. de forma que determinen, mediante el conteo o la percepción simultánea, cuántos elementos tienen los conjuntos, y sobre la base de sus conocimientos acerca de las relaciones entre los números naturales determinen que «cuatro varillas son más varillas que tres varillas" y al final comprueban su proposición estableciendo correspondencia entre los elementos de ambos conjuntos.
Con ayuda de este procedimiento de comparación. Los alumnos pueden afirmar que en el aula hay más sillas que alumnos, menos mesas que sillas, tantos varones como niñas. En la comparación de conjuntos representados como medios de ilustración y de trabajo llegan a proposiciones similares.
Aprenden a comparar conjuntos únicamente según ‘la cantidad de sus elementos. y prescindiendo de otras características como disposición y naturaleza de los elementos de esos conjuntos.
Para el proceso de reconocimiento en la elaboración de números naturales como números cardinales estas comparaciones de conjuntos donde la equipotencia puede comprobarse, tienen especial significación.
Los alumnos dominan un número natural determinado sólo cuando comprenden que este número natural puede representarse mediante conjuntos cualesquiera equipotentes entre sí; que todos los conjuntos equipotentes son representantes, exactamente, de un número natural y cuando están en condiciones de comprender los conjuntos como representantes de este número y representar el número mediante conjuntos.
En relación directa con la introducción de un número natural y su numeral se introduce también el símbolo gráfico de este número, la cifra. El numeral y la cifra no son resultado de una abstracción, sino símbolos convenidos que no requieren explicación.
La escritura de las primeras cifras plantea a los alumnos requerimiento esencialmente más elevados que la escritura de los símbolos utilizados al mismo tiempo en la clase de Escritura. Por tanto hay que planificar tiempo suficiente para su introducción. Es importante que todos los alumnos se apropien correctamente de la escritura de las cifras básicas. Para ello el maestro escribe la cifra en el pizarrón con un tamaño adecuado, los alumnos se ponen de pie y siguen el trazo en el aire con la mano derecha. Esto se repite hasta que todos los alumnos memoricen la imagen escrita de la cifra y su forma de escritura. Después los alumnos escriben la cifra en un papel sin rayas (adecuado para escribir con tinta), primero en gran tamaño, después cada vez más pequeño. Luego se escribe en papel cuadriculado. Los ejercicios siguientes se facilitan mediante el cuaderno de ejercitación 1 para el primer grado.
Las cifras básicas, con excepción del 4, .5. y 7. Se escriben sin interrumpir el trazo.
Para la fijación de los números elaborados son necesarios muchos ejercicios.
• Los alumnos hacen corresponder a un conjunto determinado el numeral correspondiente o la cifra (comprensión).
• Los alumnos hacen corresponder a un conjunto dado Otros conjuntos equipotentes y a estos conjuntos el numeral o la cifra correspondiente.
• Los alumnos hacen corresponder a un numeral dado o a una cifra un conjunto representante del número correspondiente (representar).
• Los alumnos hacen corresponder a un numeral o a una cifra varios conjuntos representantes del número correspondiente.
• Los alumnos hacen corresponder a un numeral dado la cifra correspondiente (escritura, mostrar la tarjeta correspondiente).
• Los alumnos hacen corresponder a una cifra dada el numeral correspondiente (lectura).
En la estructuración de la ejercitación hay que tener en cuenta que se utilicen
medios de trabajo de diferentes tipos y que los alumnos sé mantengan activos.
En la fijación de un número tratado hay que relacionar siempre los números
tratados anteriormente.
3. Elaboración de los números naturales del 6 al 10 mediante. la unión de conjuntos a otros unitarios.
Después de la elaboración de los números naturales del 1 al 5 se introduce la comparación de números y se explica el orden de los números naturales del 1 al 5 además, se introduce la unión de conjuntos y la adición de números naturales, le ofrece la posibilidad de partir, en el tratamiento de los números del 6 al 10, del hecho de que cada número natural puede representarse mediante un conjunto unión de dos conjuntos finitos, no vacíos y disjuntos.
En la clase se observan ante todo los casos en los que se une un representante de un número ya tratado con un conjunto unitario.
Al igual que en el tratamiento de los números del 1 al 5, también en la elaboración de los números naturales siguientes se partirá del trabajo con los conjuntos de objetos. Por ejemplo en la elaboración del número 6 se representan, primeramente, conjuntos de cinco elementos, y se destaca que todos estos conjuntos tienen ‘la misma cantidad» de elementos.
Después estos conjuntos de cinco elementos se unen cada uno a un conjunto unitario. A cinco discos verdes se agrega uno rojo, a cinco plaquitas cuadradas azules se agrega una de algún otro color, etcétera.
Finalmente, estableciendo correspondencia entre los elementos, se determina que todos los conjuntos unión surgidos de esa forma son equipotentes. El número 6 se introduce como la clase de todos los conjuntos de 6 elementos. Al mismo tiempo sé explica que el número 6 puede comprenderse también como la clase de todos los conjuntos unión formados por un conjunto de cinco elementos y un conjunto unitario, como suma de 5 y 1.
De forma correspondiente puede elaborarse el número 7 como suma de 6 y 1, y también los números del 8 al 10.
La inclusión de la unión de conjuntos y la adición en el proceso de elaboración y fijación de los números naturales del 6 al 10 se ajusta al conocimiento siguiente:
La capacidad del hombre para percibir un conjunto simultáneamente es limitada.
En general un conjunto de cinco elementos se puede percibir simultáneamente, pero los conjuntos con más elementos requieren un conteo. Este puede hacerse de forma breve, cuando los elementos de un conjunto se han ordenado de forma determinada, ejemplo, cuando un conjunto pueden diferenciarse dos o más subconjuntos y se conoce la suma de los números correspondientes.
Ejemplos:
a) Simultáneamente se percibe que se han trazado 4 círculos.
b) La percepción simultánea se posibilita cuando los círculos se ordenan de forma conocida.
c) Hay que contar la cantidad de círculos.
d) El conjunto puede contarse así: 2, 4, 6, 8.
e) Puede contarse a partir de un conjunto percibido simultáneamente.
Utilizando este conocimiento pueden realizarse los principios didácticos siguientes:
• Los ejercicios de percepción de conjuntos unión profundizan los conocimientos de los alumnos acerca de los números naturales tratados. Al mismo tiempo contribuyen a que se forme una amplia base Intuitiva para el tratamiento de la adición de números naturales.
• Los ejercicios variados de percepción de conjuntos descompuestos en subconjuntos conducen a que los alumnos memoricen una serie de ejercicios básicos de adición sobre una base intuitiva. Estos son, ante todo, los ejercicios del tipo a+1, (O < 30 =" 70" 3 =" 7" 100 =" 200" 100 =" 200" 100 =" 300" 100 =" 300" 100 =" 1000" 100 =" 1000" 23 =" 323" 5 =" 405" 230 =" 5230" 38 ="7038" 4 =" 4004" 000 =" 10" 000 =" 20" 000 =" 90" 000 =" 100" 000 =" 100" 000 =" 200" 000 =" 900" 000 =" 1000" 10=" 102" 10 =" 103" 10 =" 104" 10 =" 105" 10 =" 106" 6352=" 6000" 6352=" 6*1000+" 6352=" 6*103">
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