file:///C:/Users/HUGO%20CHRISS/Desktop/rp.html

Recta usando geogebra

file:///C:/Users/HUGO%20CHRISS/Desktop/uno.html

Matemática divertida

Matemática divertida

LOS NUMEROS NATURALES , SU TRATAMIENTO EN LA ESCUELA

Tema: Los números naturales, su tratamiento en la escuela.
 Autor: Prof. Hugo Chriss silupú Chorres

En la antigüedad nuestros ancestros sintieron la necesidad de crear los números para poder interpretar la realidad por lo que crearon símbolos. Estos símbolos o números representarían a todos los conjuntos o grupos de objetos que independientemente de la forma, color, tamaño contengan la misma cantidad de elementos.
Cada clase de conjuntos finitos equipotenciales entre sí es un número natural, de esa forma el número 4 es la clase de todos los conjuntos de cuatro elementos y cada conjunto de cuatro elementos es representante del número 4.
Cada conjunto finito es representante de un número natural bien determinado. Un número natural puede representarse por conjuntos de la potencia correspondiente.
La explicación teórica de los números naturales se ajusta al proceso de obtención de algunos números naturales por los niños de edad preescolar. Los alumnos adquieren los primeros conocimientos acerca de los números naturales durante el Juego, en el trabajo con conjuntos, con bloques de construcción, muñecas, etcétera, aprenden a coordinar a determinados objetos, determinados numerales. También en el tratamiento sistemático de los números naturales del 1 al 10 tiene gran Importancia en la clase, el trabajo con los conjuntos, cuyos elementos son objetos sencillos. Este trabajo con conjuntos forma la base intuitiva para la abstracción posterior de los números naturales.
Los alumnos tienen que comprender por su contenido, que todos los conjuntos que tienen «la misma cantidad» de elementos, que los elementos que tiene un conjunto dado, representan el mismo número, independientemente del tamaño, color, de la naturaleza de los elementos, Independientemente también de la disposición en el espacio de los objetos pertenecientes a los conjuntos observados.
Mediante la comparación puede determinarse si dos conjuntos tienen «la misma cantidad de elementos.
El tratamiento de los números naturales hasta el diez comienza por ello, con ejercicios de comparación de conjuntos.
Para la comparación de conjuntos los alumnos disponen de varios procedimientos:

a) Cuando dos conjuntos se diferencian mucho por la cantidad de sus elementos, los alumnos reconocen»a primera vista», cuál de los dos contiene más y cuál menos elementos. Si los elementos de un conjunto se pueden hacer corresponder en determinada forma a los elementos del otro cómo por ejemplo, en un aula las sillas a las mesas, entonces esta re flexión del contenido los conduce hacia proposiciones verdaderas.
b) El importante procedimiento desde el punto de vista matemático, de comparación de dos conjuntos según su potencia se realiza mediante el establecimiento de correspondencias. Los alumnos comparan dos conjuntos entre si, sin determinar «la cantidad" de sus elementos, haciendo corresponder cada elemento de un conjunto a un elemento del otro. Él conjunto en el que quedan elementos después de realizada esta correspondencia unívoca tiene más elementos que el otro. Si no sobran elementos entonces son equipotentes. Una correspondencia como esta posibilita proposiciones como: «Hay más círculos que triángulos" «Hay menos triángulos negros que blancos»: - Arriba hay tantos círculos como abajo».
c) Como los alumnos conocen ya algunos números naturales, pueden comparar dos conjuntos en relación con su potencia. de forma que determinen, mediante el conteo o la percepción simultánea, cuántos elementos tienen los conjuntos, y sobre la base de sus conocimientos acerca de las relaciones entre los números naturales determinen que «cuatro varillas son más varillas que tres varillas" y al final comprueban su proposición estableciendo correspondencia entre los elementos de ambos conjuntos.
Con ayuda de este procedimiento de comparación. Los alumnos pueden afirmar que en el aula hay más sillas que alumnos, menos mesas que sillas, tantos varones como niñas. En la comparación de conjuntos representados como medios de ilustración y de trabajo llegan a proposiciones similares.
Aprenden a comparar conjuntos únicamente según ‘la cantidad de sus elementos. y prescindiendo de otras características como disposición y naturaleza de los elementos de esos conjuntos.
Para el proceso de reconocimiento en la elaboración de números naturales como números cardinales estas comparaciones de conjuntos donde la equipotencia puede comprobarse, tienen especial significación.
Los alumnos dominan un número natural determinado sólo cuando comprenden que este número natural puede representarse mediante conjuntos cualesquiera equipotentes entre sí; que todos los conjuntos equipotentes son representantes, exactamente, de un número natural y cuando están en condiciones de comprender los conjuntos como representantes de este número y representar el número mediante conjuntos.
En relación directa con la introducción de un número natural y su numeral se introduce también el símbolo gráfico de este número, la cifra. El numeral y la cifra no son resultado de una abstracción, sino símbolos convenidos que no requieren explicación.
La escritura de las primeras cifras plantea a los alumnos requerimiento esencialmente más elevados que la escritura de los símbolos utilizados al mismo tiempo en la clase de Escritura. Por tanto hay que planificar tiempo suficiente para su introducción. Es importante que todos los alumnos se apropien correctamente de la escritura de las cifras básicas. Para ello el maestro escribe la cifra en el pizarrón con un tamaño adecuado, los alumnos se ponen de pie y siguen el trazo en el aire con la mano derecha. Esto se repite hasta que todos los alumnos memoricen la imagen escrita de la cifra y su forma de escritura. Después los alumnos escriben la cifra en un papel sin rayas (adecuado para escribir con tinta), primero en gran tamaño, después cada vez más pequeño. Luego se escribe en papel cuadriculado. Los ejercicios siguientes se facilitan mediante el cuaderno de ejercitación 1 para el primer grado.
Las cifras básicas, con excepción del 4, .5. y 7. Se escriben sin interrumpir el trazo.
Para la fijación de los números elaborados son necesarios muchos ejercicios.
• Los alumnos hacen corresponder a un conjunto determinado el numeral correspondiente o la cifra (comprensión).
• Los alumnos hacen corresponder a un conjunto dado Otros conjuntos equipotentes y a estos conjuntos el numeral o la cifra correspondiente.
• Los alumnos hacen corresponder a un numeral dado o a una cifra un conjunto representante del número correspondiente (representar).
• Los alumnos hacen corresponder a un numeral o a una cifra varios conjuntos representantes del número correspondiente.
• Los alumnos hacen corresponder a un numeral dado la cifra correspondiente (escritura, mostrar la tarjeta correspondiente).
• Los alumnos hacen corresponder a una cifra dada el numeral correspondiente (lectura).
En la estructuración de la ejercitación hay que tener en cuenta que se utilicen
medios de trabajo de diferentes tipos y que los alumnos sé mantengan activos.
En la fijación de un número tratado hay que relacionar siempre los números
tratados anteriormente.
3. Elaboración de los números naturales del 6 al 10 mediante. la unión de conjuntos a otros unitarios.
Después de la elaboración de los números naturales del 1 al 5 se introduce la comparación de números y se explica el orden de los números naturales del 1 al 5 además, se introduce la unión de conjuntos y la adición de números naturales, le ofrece la posibilidad de partir, en el tratamiento de los números del 6 al 10, del hecho de que cada número natural puede representarse mediante un conjunto unión de dos conjuntos finitos, no vacíos y disjuntos.
En la clase se observan ante todo los casos en los que se une un representante de un número ya tratado con un conjunto unitario.
Al igual que en el tratamiento de los números del 1 al 5, también en la elaboración de los números naturales siguientes se partirá del trabajo con los conjuntos de objetos. Por ejemplo en la elaboración del número 6 se representan, primeramente, conjuntos de cinco elementos, y se destaca que todos estos conjuntos tienen ‘la misma cantidad» de elementos.
Después estos conjuntos de cinco elementos se unen cada uno a un conjunto unitario. A cinco discos verdes se agrega uno rojo, a cinco plaquitas cuadradas azules se agrega una de algún otro color, etcétera.
Finalmente, estableciendo correspondencia entre los elementos, se determina que todos los conjuntos unión surgidos de esa forma son equipotentes. El número 6 se introduce como la clase de todos los conjuntos de 6 elementos. Al mismo tiempo sé explica que el número 6 puede comprenderse también como la clase de todos los conjuntos unión formados por un conjunto de cinco elementos y un conjunto unitario, como suma de 5 y 1.
De forma correspondiente puede elaborarse el número 7 como suma de 6 y 1, y también los números del 8 al 10.
La inclusión de la unión de conjuntos y la adición en el proceso de elaboración y fijación de los números naturales del 6 al 10 se ajusta al conocimiento siguiente:
La capacidad del hombre para percibir un conjunto simultáneamente es limitada.
En general un conjunto de cinco elementos se puede percibir simultáneamente, pero los conjuntos con más elementos requieren un conteo. Este puede hacerse de forma breve, cuando los elementos de un conjunto se han ordenado de forma determinada, ejemplo, cuando un conjunto pueden diferenciarse dos o más subconjuntos y se conoce la suma de los números correspondientes.
Ejemplos:
a) Simultáneamente se percibe que se han trazado 4 círculos.
b) La percepción simultánea se posibilita cuando los círculos se ordenan de forma conocida.
c) Hay que contar la cantidad de círculos.
d) El conjunto puede contarse así: 2, 4, 6, 8.
e) Puede contarse a partir de un conjunto percibido simultáneamente.
Utilizando este conocimiento pueden realizarse los principios didácticos siguientes:
• Los ejercicios de percepción de conjuntos unión profundizan los conocimientos de los alumnos acerca de los números naturales tratados. Al mismo tiempo contribuyen a que se forme una amplia base Intuitiva para el tratamiento de la adición de números naturales.
• Los ejercicios variados de percepción de conjuntos descompuestos en subconjuntos conducen a que los alumnos memoricen una serie de ejercicios básicos de adición sobre una base intuitiva. Estos son, ante todo, los ejercicios del tipo a+1, (O < 30 =" 70" 3 =" 7" 100 =" 200" 100 =" 200" 100 =" 300" 100 =" 300" 100 =" 1000" 100 =" 1000" 23 =" 323" 5 =" 405" 230 =" 5230" 38 ="7038" 4 =" 4004" 000 =" 10" 000 =" 20" 000 =" 90" 000 =" 100" 000 =" 100" 000 =" 200" 000 =" 900" 000 =" 1000" 10=" 102" 10 =" 103" 10 =" 104" 10 =" 105" 10 =" 106" 6352=" 6000" 6352=" 6*1000+" 6352=" 6*103">

EL NIÑO DE INICIAL Y LA LOGICA MATEMATICA

EL NIÑO DE INICIAL Y LA LÓGICO-MATEMÁTICA

Prof. HUGO CHRISS SILUPU CHORRES

El estudio "El niño de Educación Inicial y el pensamiento lógico-matemático: ¿Cómo son sus procesos de apropiación?" ha sido elaborado con la intención de poder abordar el tema de las operaciones del pensamiento (o también denominadas operaciones lógico-matemáticas) dentro del sistema curricular del nivel de preescolar. Este tema presenta importancia actual en el contexto educativo por cuanto constituye y significa herramientas cognitivas que el individuo debe desarrollar para desenvolverse en el presente y futuro del ámbito cultural y social. La Educación Preescolar aspira educar a un individuo para que participe y se convierta en factor decisivo en el desarrollo del entorno donde le corresponde actuar y así lograr el propósito social y cultural de la sociedad.

Las teorías de Jean Piaget se han aplicado ampliamente en la educación del niño. Estas teorías ofrecen métodos para determinar cuándo un niño está listo para adquirir determinado aprendizaje y cuáles son los procedimientos más idóneos para cierta edad. A medida que el ser humano se desarrolla, utiliza esquemas cada vez más complejos para organizar la información que recibe del mundo externo y que conformará su inteligencia y pensamiento.
Piaget reconoce tres tipos de conocimiento como son el conocimiento físico, el lógico-matemático y el social. "El conocimiento físico es el conocimiento que se adquiere a través de la interacción con los objetos". Este conocimiento es el que adquiere el niño a través de la manipulación de los objetos que le rodean y que forman parte de su interacción con el medio. Ejemplo de ello, es cuando el niño manipula los objetos que se encuentran en el aula y los diferencia por textura, color, peso, etc.

El conocimiento lógico-matemático es el que construye el niño al relacionar las experiencias obtenidas en la manipulación de los objetos. Por ejemplo, el niño diferencia entre un objeto de textura áspera con uno de textura lisa y establece que son diferentes.

El conocimiento lógico-matemático "surge de una abstracción reflexiva" ya que este conocimiento no es observable y es el niño quien lo construye en su mente a través de las relaciones con los objetos, desarrollándose siempre de lo más simple a lo más complejo, teniendo como particularidad que el conocimiento adquirido una vez procesado no se olvida, ya que la experiencia no proviene de los objetos sino de su acción sobre los mismos. De allí que este conocimiento posea características propias que lo diferencian de otros conocimientos.

El conocimiento social es "un conocimiento arbitrario, basado en el consenso social" Es el conocimiento que adquiere el niño al relacionarse con otros niños o con el docente en su relación niño-niño y niño-adulto. Este conocimiento se logra al fomentar la interacción grupal.

De lo anteriormente descrito se concluye que a medida que el niño tiene contacto con los objetos del medio (conocimiento físico) y comparte sus experiencias con otras personas (conocimiento social), mejor será la estructuración del conocimiento lógico-matemático.

Puede decirse que las Teorías del Desarrollo del Piaget se refieren a la evolución del pensamiento en el niño a través de las distintas edades. Piaget concibe al niño como un "organismo biológico activo que actúa cuando experimenta una necesidad". Esta estructura cognoscitiva del niño se desarrolla a medida que éste interactúa con el ambiente y ha sido representada a través de varios estadios que implican una complejidad creciente de las formas de pensamiento.

Los estudios de Piaget demuestran, además, que el desarrollo de la inteligencia se presenta a través de tres etapas, las cuales son la etapa de la inteligencia sensorio-motríz (de 0 a 2 años), la etapa de preparación y organización de la inteligencia operatoria concreta (de 2 a 11 años) y la etapa de la inteligencia operatoria formal (de 11 a 16 años). Entre 1 y 2 años se desarrolla el pensamiento simbólico y preconceptual con la aparición de la función simbólica y el lenguaje. Entre los 4 y 7 años se presenta el pensamiento intuitivo que conduce a la consolidación de la operación lógica y de 7 a 12 años se organizan las operaciones concretas.

El periodo pre-operatorio (de 2 a 7 años) correspondiente al niño de preescolar se caracteriza por la descomposición del pensamiento en función de imágenes, símbolos y conceptos. El niño adquiere habilidad para representar mentalmente el mundo que lo rodea, ha adquirido la permanencia de los objetos, es decir, que los objetos existen aún cuando no sean percibidos por él. Piaget atribuye esta nueva capacidad de pensamiento lógico a una maduración creciente y a experiencias físicas y sociales las cuales proporcionan oportunidades para el equilibrio.

Los estudios más recientes sobre neurología constatan que los primeros años de vida son trascendentales porque delimitan la capacidad intelectual que una persona podrá desarrollar. De tal forma que si desde la edad más temprana se pone a la alumna en situaciones adecuadas de aprendizaje, su potencial intelectual puede multiplicarse.

El cerebro humano se divide en dos hemisferios. Las capacidades propias del hemisferio izquierdo son la lógica, el análisis, el pensamiento secuencial; procesa y razona linealmente, sin atajos ni caminos laterales; le cuesta captar y aceptar cosas nuevas; rige el tiempo, el orden, los hábitos sociales; funciona con palabras. Por el contrario, el hemisferio derecho es creativo, le gusta la música, la pintura, el arte..; no analiza sino que visualiza globalmente, sin palabras, con imágenes; en su funcionamiento salta de un punto a otro intuitivamente; no entiende de normas ni de tiempo; busca sus propias alternativas y soluciones.
El período de edad que se extiende desde el nacimiento hasta los 6 años es de gran plasticidad, es decir, es el momento en el que una niña aprende con rapidez y entusiasmo. Por eso se suele decir que es un “ período sensible”, un período en el que las niñas tienen un gran potencial tanto para el desarrollo físico-orgánico como intelectual y moral
El cerebro de un niño o niña crece tanto como lo permita su capacidad de crecimiento y el ambiente en el que se mueve. De aquí nace la importancia de la estimulación adecuada en los primeros años de la vida.
Los conocimientos se aprenden a través del estudio y a través de la experiencia. Lo más importante a la hora de aprender no es la suma de conocimientos sino el desarrollo mental que se produce cuando se adquieren los conocimientos. Por eso se debe formar un pensamiento integrador, es decir, aquel que percibe todas las dimensiones de cualquier situación de la vida real.
Con la adquisición del lenguaje la niña aprende no sólo unas reglas gramaticales y un vocabulario, sino ordena, pregunta, explica, describe y de algún modo organiza su experiencia, la comunica y actúa sobre el ambiente físico y social en el que vive. Este programa Neuromotor facilita la organización neurológica y previene problemas de lectura y escritura.
La experiencia confirma que un elevado número de fracasos escolares están relacionados con trastornos o déficits motores, neuromotores o perceptivo- motores. En Salcantay se evita el fracaso escolar fomentando el desarrollo correcto y la madurez del sistema nervioso. En la medida en que una niña recibe los estímulos necesarios su sistema nervioso madura y se organiza adecuadamente.
BITS DE INTELIGENCIA
Toda formación humana es intelectual ya que sólo a través de la inteligencia el hombre puede dirigir su propio proyecto de vida, de ahí la trascendencia en la formación del pensamiento. Los Bits desarrollan la capacidad de atención activa y la memoria. También amplían el vocabulario y los conocimientos.
En la aplicación de los Bits de inteligencia se ha observado cómo las niñas reciben el máximo de información con un esfuerzo mínimo. El aprendizaje posterior se construirá mediante la asociación y el razonamiento de lo conocido.
LOS BITS DE NUMERACIÓN, CALCULO Y LECTURA
La actividad principal es la actividad del pensar, ya que no sería posible aprender, saber lo esencial de algo, entenderlo, sin tener un pensamiento ordenado y lógico. Mediante las actividades orientadas a la inteligencia, los niños desarrollan la memoria, la atención, la asociación y la separación visual y auditiva, iniciando a las niñas en las habilidades del cálculo mental, en la lectura y escritura.
PROGRAMA DE DESARROLLO LÓGICO- MATEMÁTICO
De los 3 a los 6 años el desarrollo lógico- matemático se logra mediante la manipulación de objetos y el descubrimiento de las relaciones que existen entre ellos.
Un ambiente rico en estímulos favorecerá la observación, manipulación y descripción de objetos que serán la base para pasar más adelante del pensamiento concreto al abstracto.

Según las hipótesis y las experiencias de Piaget, el proceso de clasificación atraviesa por tres estadios:

el primer estadio corresponde a la Colección Figural (aproximadamente 4 años), en donde el niño elige un elemento, luego toma otro que encuentra parecido al primero y lo coloca al lado, luego toma un tercero que se parece en algo al segundo y así sucesivamente, sin plan preestablecido ni intenciones de clasificar todos los elementos. Hay tres tipos de colecciones figurales: alineamiento, que se observa cuando el niño clasifica los objetos de manera lineal, comúnmente horizontal. Objetos colectivos, son agrupaciones que realiza de manera horizontal o vertical que conforman una unidad. Objetos complejos, son agrupaciones igual a las anteriores pero formadas con elementos heterogéneos.

El segundo estadio constituye la Colección no figural, en la cual el niño empieza a formar pequeñas colecciones separadas en donde toma en cuenta las diferencias entre ellas y las separa. Este estadio a su vez se divide en dos subestadios, en el primero, el niño agrupa los objetos que tienen características comunes y en el segundo, ya el niño los distribuye haciendo subclases.

El tercer estadio se denomina la clase lógica o clasificación operatoria, en donde ya el niño ha logrado clasificar objetos por semejanzas, diferencias, pertenencia e inclusión.

La seriación "es una operación lógica que permite establecer relaciones comparativas entre los elementos de un conjunto, y ordenarlos según sus diferencias ya sea en forma creciente o decreciente" (op.cit., p. 120).

En la operación de seriación, la teoría cognitiva expone la existencia de tres estadios. En el primer estadio, el niño puede alinear objetos por orden de tamaño, pero con pocas cantidades, de igual manera podrá construir torres de tacos de distinto tamaño pero lo hará a tanteo y descartará los elementos que no logre ubicar. Por ejemplo, cuando construye una torre e intercala tacos grandes y pequeños, se le caerá e irá probando la colocación de los mismos hasta que logre armarla.En el segundo estadio, el niño construye series pero por el método de ensayo y error. Esto lo logra a través de ir probando el tamaño de cada uno de los objetos y posteriormente decide si va delante o detrás del anterior. El niño va construyendo la seriación a medida que va comparando los objetos que se le presentan, ya que en este estadio el niño comienza a establecer diferencias entre "más grande que" y "más pequeño que". Es en este estadio en donde se encuentra el niño el momento para comenzar a manejar la reversibilidad propia de la seriación (relaciones en sentido inverso) como son la seriación por orden creciente y decreciente.

De igual manera se inicia el proceso de transitividad, la cual supone establecer una relación de comparación entre un elemento de la serie con el que le sucede y del anterior con el siguiente, para poder llegar así a establecer la relación entre el primero y el último.

En el tercer estadio, el niño ordena objetos de manera creciente o decreciente de acuerdo a las características que se le presente, bien sea por color, tamaño, etc. En este estadio el niño utiliza el método operatorio, ya conoce los pasos para hacer una serie y la realiza de manera sistemática porque ha construido las dos propiedades fundamentales descritas en el estadio anterior como son la reversibilidad y transitividad. Cuando el niño está ubicado en este estadio lográ establecer relaciones de tamaño ("más grande que", "menos grande que") y además establecen relaciones inversas.

En cuanto a la noción de número se puede deducir que es el resultado de las operaciones de clasificación y seriación. Según Piaget, " el número es una estructura mental que construye cada niño mediante una aptitud natural para pensar" (citado en Maldonado y Francia, 1996, p. 39). El niño se inicia en la idea del número mucho antes de llegar a la escuela, cuando hace referencia a la idea de cantidad (mucho-poco-nada) y de orden (primero-segundo-último) en la vida cotidiana. Al contar, agrupar y comparar, el niño inicia el proceso de comprensión del número, el cual le permitirá la comprensión de las operaciones matemáticas de números.

Para que se pueda estructurar la noción de número en el niño de preescolar es importante que se construya la noción de conservación de número, la cual consiste en "sostener la equivalencia numérica de dos grupos de elementos, aún cuando no haya correspondencia visual uno a uno entre los elementos" (Bustillo, 1996).

En cuanto a la representación gráfica, se debe establecer primeramente la diferencia entre un significado (objeto representado) y un significante (palabra o dibujo que representa el significado) (Bustillo, 1996). En actividades de clasificación, el niño construye significados que representa gráficamente. Por ejemplo, realiza dibujos en donde representa objetos que posteriormente los relaciona con un número. En la seriación, cuando el niño está ubicado en el tercer estadio, el niño es capaz de establecer relaciones entre los objetos dibujados y el número que le corresponde.Para adquirir la noción de número, el niño atraviesa por varias etapas. Al principio memoriza los números sin entender el significado del mismo, posteriormente va logrando la correspondencia uno a uno (inicialmente puede contar más rápido que señalar o a la inversa) hasta que logra establecer correctamente la relación.La otra operación del pensamiento, la noción de espacio, la maneja el niño desde que inicia su desplazamiento al gatear, caminar, etc. Mediante estos desplazamientos el niño mantiene contacto con los objetos, lo cual le permite darse cuenta de las relaciones: arriba - abajo, cerca - lejos, derecha - izquierda.

Bustillo (1996) explica que "la construcción del espacio se refiere no sólo a la estructuración del espacio externo del niño, sino también a la organización de su esquema corporal y de las relaciones entre su propio cuerpo y el mundo exterior".

Lo anteriormente expuesto indica que el niño logra construir la noción del espacio a través de los desplazamientos que ejecuta en las áreas de aprendizaje y lugares del espacio exterior donde se le permite la expresión corporal y coordinaciones de movimiento.
La noción de tiempo como operación del pensamiento es adquirida por el niño a través de las actividades que va realizando en su vida cotidiana, como la hora de desayuno, el almuerzo, la cena, el día, la noche, etc. Estas actividades de rutina le van a permitir al niño ubicarse en el tiempo y poder establecer diferencias entre cada una de las actividades que realiza y en qué momento. El docente debe planificar actividades que le permitan al niño involucrarse en aspectos relacionados con el quehacer diario, participar en la planificación de la jornada diaria, relatar experiencias obtenidas en situaciones presentadas en juegos y actividades libres donde los niños utilicen los términos ayer, hoy y mañana, para ubicarlos en el tiempo.

En la adquisición de la noción del tiempo también, se debe incluir la medición, ya que el niño debe iniciarse en la planificación de actividades que tengan un tiempo establecido. Para ello, el docente debe incitar a los niños en el uso del reloj del aula de manera que puedan ajustar sus actividades al tiempo previsto para cada una de ellas.

La representación como operación del pensamiento, consiste en formar una imagen interior del mundo exterior. La representación tiene que ver con el principio de conservación que presentó Piaget, en el cual los objetivos existen a pesar que no los vea en un momento dado, ni pueda actuar sobre ellos. El niño de preescolar puede ejercitar la operación de representación a través de la imitación diferida (imitación de un acto de suposición), representación a nivel de serial (reconocimiento del objeto por alguna de sus partes), representación a nivel simbólico (reconocimiento de modelos bidimensionales a través del dibujo) y la representación a nivel de signos ("representación arbitraria compartidas por la sociedad a través de la palabra, número o gráfico"). Estos aspectos planteados por Castelnuovo, son tomados en cuenta en los planteamientos curriculares de la educación preescolar.

El conocimiento del espacio es otro aprendizaje de tipo lógico que tiene que ver con las nociones, relaciones y estructuras que el niño puede construir entre los objetos que le rodean. El niño de preescolar realiza actividades que le permiten progresar en un conocimiento del espacio a partir del conocimiento en el plano.

La comprensión del tiempo es otra de las operaciones del pensamiento que establece el sistema curricular para la educación preescolar y que está muy relacionada con el conocimiento físico y social del niño. Cuando el niño construye sucesos, debe atender a una secuencia lógica y cronológica de los eventos. Para ello el docente insistirá en que explique de manera secuencial qué sucedió primero, qué sucedió después y así sucesivamente. La comprensión del tiempo significa además de la "reconstrucción secuencial y cronológica del tiempo", la "comprensión de las unidades convencionales del mismo. Por ejemplo: semana, mes, hora, etc. En esta fase, el niño ya comienza a mostrar una visión objetiva del tiempo".

ALGUNOS CONSEJOS PARA RESOLVER PROBLEMAS

Algunos consejos para resolver problemas
Hirió mi mente un relámpago, que colmó mi deseo.
DANTE : Paradiso, Canto XXXIII

Por favor, dame un problema
Los matemáticos entendemos la palabra "problema" de forma diferente a la usual. Si le dices a un amigo "tengo un problema", seguro que ese amigo entiende que te sucede algo que puede tener consecuencias desagradables. Casi todo el mundo procura evitar los problemas y a nadie le gusta que le "calienten la cabeza" con problemas. A nadie... menos a los matemáticos. Para un matemático tener un buen problema es garantía de horas de trabajo interesante, a veces, incluso, apasionante. En todos los tiempos el deseo de resolver algunos grandes problemas ha sido el mayor estímulo para el progreso de las matemáticas. Hacer matemáticas consiste, esencialmente, en resolver y en proponer problemas.
Te digo todo esto, porque ya es hora de que tú, estudiante de matemáticas, empieces a considerar los problemas como amigos que te brindan la oportunidad de progresar de una forma activa en tus estudios, de comprobar si de verdad sabes lo que crees saber y, a veces, de experimentar ese destello de plenitud gozosa que sobreviene cuando, después de horas de intenso trabajo, alcanzas la "iluminación" de la respuesta correcta, simple y elegante.

¿Qué es un problema?El verdadero problema es que hace ya mucho tiempo que en las enseñanzas medias se olvidaron de los problemas. No me preguntes por qué. Yo no soy ningún experto en el tema, pero mi impresión es que, desde que empezaron a programarse objetivos evaluables, los ejercicios más o menos triviales sustituyeron a los bonitos problemas de antes, aquellos que proponían los profesores antes de que los teóricos de todas las reformas de la enseñanza les convencieran de que sus alumnos eran demasiado torpes. Por eso, es muy posible que hayas llegado a la universidad sin haberte enfrentado nunca con un problema de verdad, un problema que no sea un mero ejercicio. Porque no son lo mismo.

EJERCICIOSDe un vistazo sabes lo que te piden que hagas.
Conoces de antemano un camino y no tienes más que aplicarlo para llegar a la solución.
El objetivo principal es aplicar en una situación concreta, de forma más o menos mecánica, procedimientos y técnicas generales previamente ensayados.
Proponen tareas perfectamente definidas.

PROBLEMASSuele ser necesario leerlos con atención para entenderlos correctamente.
Sabes, más o menos, a dónde quieres llegar, pero ignoras el camino.
El objetivo es que organices y relaciones tus conocimientos de forma novedosa. Suponen una actitud mental positiva, abierta y creativa.
En general, son cuestiones más abiertas y menos definidas que los ejercicios.

ALGUNOS CONSEJOS QUE TE AYUDARÁN A PENSAR MEJORPara ser eficaz resolviendo problemas, es conveniente que tengas en cuenta las siguientes recomendaciones.
La actitud inicial es importante
Cuando nos enfrentamos a un problema es muy importante la actitud que tienes ante él. ¿Estás ansiosos por resolverlo o no tienes gana ninguna? ¿Tus condiciones físicas (cansancio, sueño, etc..) son las adecuadas? ¿Tienes curiosidad, disposición de aprender, gusto por el reto?

Ten confianza en tus capacidades
Con frecuencia, no es necesario saber mucho para resolver bien un problema. Basta con pensar correctamente. Actúa, pues, sin miedo, con tranquilidad, convencido de que está a tu alcance.
Sé paciente y constante
No abandones a la menor dificultad. Si te quedas atascado, no te des por vencido; piensa un nuevo enfoque del problema. Cada problema requiere su tiempo.
Concéntrate en lo que haces
Resolver problemas es una actividad mental compleja. Requiere poner en tensión todos nuestros resortes mentales.
Busca el éxito a largo plazo
Aprender a resolver problemas es un proceso lento. Los frutos tardarán un cierto tiempo en llegar pero cuando notes los progresos sentirás una gran satisfacción.

ETAPAS EN LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA
No existen reglas que aseguren el éxito en la solución de problemas. Sin embargo, sí se pueden señalar algunos pasos generales para el proceso de resolverlos. Los que siguen están sacados del libro How To Solve It de George Polya y de los libros Aventuras Matemáticas y Para pensar mejor de Miguel de Guzmán cuya lectura te recomiendo vivamente.
A Comprende el problema
Lee tranquilamente el enunciado. Puede ser necesario que lo leas varias veces, hasta estar seguro de haberlo entendido y de que no se te ha escapado ningún dato interesante. Has de tener muy claro en qué consiste, qué conoces, qué se te pide, cuáles son las condiciones... Esto es imprescindible para afrontar el problema con garantías de éxito.
B Elabora un plan de actuación
Cuando ya estás seguro de haber entendido bien el problema y crees tener toda la información necesaria, es el momento de elegir una estrategia para resolverlo. Existe una gran variedad de estrategias que conviene que conozcas y que practiques para mejorar tu capacidad de resolver problemas. Al final te indico algunas de las más frecuentes.
C Lleva adelante tu plan
Ya tienes una estrategia que te parece adecuada. Trabájala con decisión y no la abandones a la primera dificultad. Pero si ves que las cosas se complican demasiado y que no te acercas nada a la solución, vuelve al paso anterior y prueba con una estrategia diferente. Por lo general hay varias formas de llegar a la solución y no podemos esperar acertar siempre con la más apropiada al primer intento.
¿Salió? ¿Seguro? Revisa el resultado y cerciórate bien de que has llegado a la solución. Son innumerables las veces que creemos haber resuelto un problema y luego no es así. Las medias ideas y medias soluciones sirven de poco.
D Mira atrás y reflexiona sobre todo el proceso
¿Has resuelto el problema? ¡Enhorabuena! ¿Has pasado un buen rato interesado, entretenido, intentándolo con ganas, y has acabado por no resolverlo? ¡Enhorabuena también! Se aprende mucho más de los problemas trabajados con interés y tesón... y no resueltos, que de los que se resuelven casi a primera vista. Ahora debes reflexionar sobre todo el proceso. Esta etapa puede ser la más provechosa de todas... y la que más a menudo olvidamos realizar.